보조방정식

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소개

선형이고 Homogeneous한 미분방정식을 풀때 사용하는 식으로 차수와 계수에 따라 나뉜다.

공업수학에서는 당장 써먹기위해 설띵은 대강하고 예시를 존나 주지만 실은 이 원리는 선형대수에서 자세히 소개한다. 무한번 미분가능한 함수로 이루어진 벡터공간과 그 부분공간인 미분방정식의 해공간의 기저가 e^ct 형태인것을 앎으로써 원리를 알 수가 있다.

1차

얜 사실 보조방정식 안 쓰고도 풀리는 존나 간단한 방정식이다.

2차

보조방정식이 2차 방정식이다.

ay+by'+cy=0일때 보조방정식은 at^2+bt+c=0

이 이차방정식의 판별식이 0보다 크면 근이 m1,m2로 2개있고 미분방정식의 해는 y=c1e^m1t+c2e^m2t

판별식이 0이면 근은 m 하나이고 y=c1e^mt+c2te^mt

판별식이 0보다 작으면 근은 허근 m=e+-fi 꼴로 나타나고 그 근은 y=e^et(c1cosfx+c2sinfx)

3차

보조 방정식은 3차 방정식이다.

3차 방정식이 근이 있으면 2차에서 보인것과 같이 지수함수의 선형결합꼴이지만 근이 없으면 라플라스 변환을 사용하거나 차수를 어떻게든 낮추는 수밖에 없다.

4차 이상

그냥 라플라스 변환이나 쓰는게 정신건강에 이롭다.